在任意線段AB上，取點P，過點P作線段AB的垂線交AB于點C。再作一條經(jīng)過點A的射線AD，使得AD=AC。同樣地，在經(jīng)過點B的射線BE上取一點F，使得BF=BC。連接CF、DF，它們的交點就是線段AB的黃金分割點Q。

證明如下：

首先，由于ADC是直角三角形，所以AD是CB的中線，即AD=AC=BC/2。同理，由于BFC是直角三角形，所以BF是AC的中線，即BF=BC/2=AD。因此，由AC=AD，BF=AD可知，三角形ADF與三角形BFC全等。

現(xiàn)在，我們來計算三角形CDF的面積。因為CDF與ADF全等，所以它們的底邊長度相等，即CF=AF。又因為CDF與CFQ相似，所以我們有：

$frac{CF}{DF}=frac{CQ}{CF}$

即

$DF=frac{CF^2}{CQ}$

而因為ADF與BFC全等，所以AF=BF=BC/2，即CF=BC/2+AC=AB/2。又由于AC=AD=AB/4，所以BC=AB/2+AD=AB/2+AC=3AB/4。

因此，

$CF^2=AB^2/16$

$CQ=frac{AB}{2}-DF$

$=frac{AB}{2}-frac{AB^2}{16}cdotfrac{4}{AB^2+4AB+4}$ （代入上式）

$=frac{AB^2}{AB^2+4AB+4}cdotfrac{AB-2}{2}$

$=frac{(AB-2)^2}{AB^2+4AB+4}cdot AB/2$

現(xiàn)在，我們來計算CDF的面積。使用海倫公式可以得到：

$S_{CDF}=sqrt{s(s-CF)(s-DF)}$

其中，

$s=frac{CF+DF+CD}{2}=AB/2$

因為AB是單位長度，所以$s=1/2$。因此，

$S_{CDF}=sqrt{(1/2)(AB^2/16-DF)(1/2+DF)}$

$=sqrt{(AB^2/32-AB^4/16(AB^2+4AB+4))cdot(AB^2/32+AB^4/16(AB^2+4AB+4))}$

$=frac{1}{4}cdotfrac{AB^2}{AB^2+4AB+4}$

現(xiàn)在，我們來計算三角形ABF的面積。由于三角形BFC與ADF全等，所以三角形BFC的高等于三角形ADF的高。因此，

$S_{ABF}=frac{1}{2}cdot BFcdot CF$

$=frac{1}{2}cdotfrac{AB}{4}cdotfrac{AB}{2}$

$=frac{AB^2}{16}cdotfrac{1}{4}$

$=frac{AB^2}{64}$

最后，我們來計算三角形ABQ的面積。由于三角形BFC與ADF全等，所以三角形BFC的高等于三角形ADF的高。因此，

$S_{ABQ}=frac{1}{2}cdot BFcdot CQ$

$=(AB/4)cdot[(AB-2)^2/(AB^2+4AB+4)cdot AB/2]$

$=frac{AB^3-2AB^2}{8(AB^2+4AB+4)}$

現(xiàn)在我們來比較SABQ和SCDF：

$frac{S_{ABQ}}{S_{CDF}}=frac{(AB^3-2AB^2)/8}{AB^2/64}$

$=frac{AB}{8}-frac{1}{4}$

因為AB是單位長度，所以$frac{S_{ABQ}}{S_{CDF}}=frac{AB}{8}-frac{1}{4}=0.118034...$，而AB的長度與線段AB的長度相等，所以我們得到：

$AQ/AB=frac{sqrt{5}-1}{2}$

這就是黃金分割率的值。證畢。